指導対局自戦記
 駒落ちならプロにも勝てる!   はずなんだけどなぁ・・・

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パズル 解答への道 其の三

問 題
 ここに12枚の金貨があります。
 この中に1枚偽物の金貨が紛れています。
 偽物は本物と重さが違います。
 偽物は本物に比べて重いのか軽いのかはわかっていません。
 天秤はかりを3回使って偽金貨を見つけてください。

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

一回目で3枚を量るのは正解が見つけられませんでした。
ここまでは頭の中だけで考えていました。
なので、天秤は釣り合うか釣り合わないかだけで判断をしていました。
流石に悔しくなってきて、仕事を一時中断して(苦笑)紙とペンを出して一から検討を始めました。

1-1)
  ○○○○     ○○○○      ○○○○
└──┬──┘ └──┬──┘
   └───┬───┘
1-2)
          ○○○○      ○○○○
  ○○○○   └──┬──┘
└──┬──┘    │ 
   └───┬───┘

ノートにこの絵を書いた時にひらめきました。
左の金貨には重たい偽物があるかもしれない、右の金貨には軽い偽物があるかもしれない、と。
そうです。一回目で釣り合わなくても、ここで重さがわかるという事に気付きました。
脳内天秤では1-2)の結果から『釣り合わないから残りの4枚が本物』という情報しか読み取れませんでした。
目からの情報は大きいですね。
書きながら「こっちは重い、こっちは軽い」と考えた事が正解へのヒントになりました。

それではわたしが辿り着いた解答です。


説明の為に金貨に番号をふる事にします。
4個ずつ三つのグループに分けるので、
 ○1から○4
 △1から△4
 □1から□4
とします。
それから等号と不等号で天秤を表すことにします。
○1○2=△1△2は、○1と○2を左の天秤に、△1と△2を右の天秤に乗せて釣り合ったという事を表すとします。
同時に、釣り合った金貨は本物と確定されます。
○1○2>△1△2は同じように○1と○2を左の天秤に、△1と△2を右の天秤に乗せて左が重くて右が軽いという事を表すとします。
同時に、天秤に乗っていない全ての金貨は本物と確定されます。


まず一回目は○1○2○3○4を左に、△1△2△3△4を右に乗せます。
A)○1○2○3○4=△1△2△3△4
B)○1○2○3○4>△1△2△3△4
C)○1○2○3○4<△1△2△3△4
結果は以上の三通りのどれかになります。


復習を兼ねて1)の場合の偽金貨発見の手順です。

A)の結果から偽金貨は□の4枚のどれかです。
二回目は左に本物の金貨3枚、右に偽金貨の可能性のある4枚の中から3枚を乗せます。

A-1)○1○2○3=□1□2□3
A-2)○1○2○3>□1□2□3
A-3)○1○2○3<□1□2□3
結果は以上の三通り。

A-1)の場合、偽金貨は□4になります。
三回目は左に本物1枚、右に偽物を乗せて量ります。
A-1-1)○1>□4
A-1-2)○1<□4
これで偽物が重いか軽いかを含め探し出せました。

A-2)とA-3)は偽金貨が重いか軽いかの違いだけで、探す手順は一緒です。
A-2)○1○2○3>□1□2□3
A-2)の結果から、偽金貨は□1□2□3のどれかで、偽金貨は本物に比べて軽いということがわかります。
三回目は偽金貨の可能性のある3枚の中から2枚を左右の天秤に乗せます。
A-2-1)□1=□2
A-2-2)□1>□2
A-2-3)□1<□2
結果は以上三通り。

A-2-1)の場合、偽金貨は□3で、□3は量らなくてもA-2)の結果から軽い事がわかります。
釣り合わない場合はA-2)の結果から軽い金貨が偽物とわかっているので…
A-2-2)は□2が偽金貨。
A-2-3)は□1が偽金貨です。

A-3)は偽金貨が本物より重いという事から、A-2)と同じ手順で偽金貨を特定する事が出来ます。


それでは一回目で釣り合わなかった場合です。
B)とC)は重いか軽いかの違いだけで、偽金貨確定の手順は一緒なので、B)の場合で説明します。

B)○1○2○3○4>△1△2△3△4

この結果からわかることは□1□2□3□4は本物で…
1)○1○2○3○4の中に重い偽金貨があり△1△2△3△4は本物
2)○1○2○3○4は本物で△1△2△3△4の中に軽い偽金貨がある
のどちらかです。

三回目で偽金貨を確定するには、二回目で6枚の本物を確定して、偽金貨が重いか軽いかがわかればいいという事です。
偽金貨の可能性を2枚に絞り込む方法が無いかと考えて、以下の方法を発見しました。

二回目は重い偽金貨の可能性のある4枚を2枚ずつ左右に乗せ、軽い偽金貨の可能性のある4枚から1枚ずつを左右に乗せます。
B-1)○1○2△1=○3○4△2
B-2)○1○2△1>○3○4△2
B-3)○1○2△1<○3○4△2
結果はこの三通り。

B-1)の場合、△3か△4が偽金貨という事がわかります。
また、B)の結果から△は本物か軽い偽金貨のどちらかであることから、その2枚を天秤に乗せれば…
B1-1)△3>△4 → △4が軽い偽金貨 
B1-2)△3<△4 → △3が軽い偽金貨
と、偽金貨を確定できます。

B-2)の場合、△は本物か軽い偽金貨、○は本物か重い偽金貨というB)の結果より…
△1と○3○4は本物だとわかります。
残る○1○2△2のどれかが偽金貨です。

三回目は○1と○2を天秤に乗せれば…
B2-1)○1=○2 → △2が軽い偽金貨
B2-2)○1>○2 → ○1が重い偽金貨
B2-3)○1<○2 → ○2が重い偽金貨
だとわかります。

B-3)の場合はB)の結果から△1が軽い偽金貨か○3○4のどちらかが重い偽金貨ということになるので、B-2)の場合と同じ手順で○3と○4を量れば偽金貨を確定できます。



一回目で重い可能性のグループと軽い可能性のグループに選別して、二回目でその重さの情報を考慮する事に気付いて、答えに辿り着けました。
みなさんも解答出来たでしょうか。






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